AstroClubИстория вселенной выглядит огромным объектом, но в рамках грубого, эскизного наброска является неожиданно простой и зависит в большой части от одного существенного факта: вселенная расширяется. Поскольку это является центральным элементом в разворачивании космической истории и, несомненно, является одним из наиболее глубоких человеческих открытий, рассмотрим коротко, как мы узнали, что это так.
В 1929 Эдвин Хаббл, используя 100-дюймовый телескоп в обсерватории Маунт-Вильсон в Пасадене, Калифорния, нашел, что пара дюжин галактик, которые он смог детектировать, все удаляются прочь.[5] Фактически Хаббл нашел, что чем более удаленной является галактика, тем быстрее ее удаление. Чтобы дать представление о масштабах, более уточненные версии оригинальных наблюдений Хаббла (которые изучали тысячи галактик, используя в числе оборудования пространственный (орбитальный) телескоп имени Хаббла) показывают, что галактики, которые удалены от нас на 100 миллионов световых лет, удаляются со скоростью около 5,5 миллиона миль в час, те же, до которых 200 миллионов световых лет, удаляются в два раза быстрее, около 11 миллионов миль в час, а те, до которых 300 миллионов световых лет, улетают в три раза быстрее, около 16,5 миллионов миль в час, и так далее. Открытие Хаббла было шокирующим, поскольку господствовавшие научные и философские убеждения состояли в том, что вселенная должна быть на своих самых больших масштабах статической, бесконечной, фиксированной и неизменной. Но Хаббл одним ударом вдребезги разбил этот взгляд. И в удивительном слиянии теории и эксперимента ОТО Эйнштейна оказалась способной обеспечить превосходное объяснение открытию Хаббла.
На самом деле, вы можете не думать, что подход к объяснению может быть слишком сложным. Тем не менее, если вы ходили по заводу и видели, сколько сортов материалов неистово вылетают во всех направлениях, вы, вероятно, думали, что там произошел взрыв. Но если вы пропутешествуете назад вдоль путей, которым следует стружка металла и глыбы бетона, вы найдете их всех объединяющимися в месте, которое, вероятно, могло бы поспорить за звание источника взрыва. По тем же самым причинам, поскольку вид с Земли, – как свидетельствуют хаббловские и последующие наблюдения, – показывает, что галактики разлетаются, вы можете подумать, что наше положение в пространстве было местом древнего взрыва, который однородно разбросал сырой материал звезд и галактик. Проблема с этой теорией, однако, в том, что она выделяет один регион в пространстве – наш регион – как уникальный, поскольку делает его местом рождения вселенной. Будь это так, это повлекло бы за собой глубоко сидящую асимметрию: физические условия в областях, удаленных от изначального взрыва, – удаленных от нас, – были бы сильно отличающимися от условий здесь. Поскольку в астрономических данных нет подтверждений такой асимметрии и, более того, поскольку мы с большим подозрением относимся к антропоцентрическим объяснениям, смешанным с докоперниковским мышлением, требуется более изощренная интерпретация открытия Хаббла, одна из тех, в которых наше положение не занимает некоторое особое место в космическом порядке.
ОТО обеспечивает такую интерпретацию. С ОТО Эйнштейн нашел, что пространство и время являются эластичными, а не неподвижными, растягиваемыми, а не жесткими; и он обеспечил уравнения, которые точно говорят нам, как пространство и время откликаются на присутствие материи и энергии. В 1920е годы русский математик и метеоролог Александр Фридман и бельгийский священник и астроном Жорж Леметр независимо проанализировали уравнения Эйнштейна, когда те применены ко всей вселенной, и оба нашли кое-что поразительное. Точно так же, как гравитационное притяжение Земли предполагает, что бейсбольный мяч, запущенный высоко над принимающим, должен либо направляться дальше вверх, либо направляться вниз, но, определенно, не может остановиться (исключая отдельный момент, когда он достигает своей высшей точки), Фридман и Леметр обнаружили, что гравитационное притяжение материи и излучения, распределенных по всему космосу, подразумевает, что ткань пространства должна или растягиваться или сжиматься, но что она не может пребывать с фиксированным размером. Фактически, это один из редких примеров, в которых метафора не только схватывает суть физики, но также и ее математическое содержание, поскольку, как оказалось, уравнения, управляющие высотой полета бейсбольного мяча над землей, почти идентичны уравнениям Эйнштейна, управляющим размером вселенной.[6]
Эластичность пространства в ОТО обеспечивает глубокий способ интерпретации открытия Хаббла. Вместо того, чтобы объяснять разбегающееся движение галактик космической версией взрыва на заводе, ОТО говорит, что в течение миллиардов лет пространство растягивается. И, раз уж оно разбухает, пространство растаскивает галактики друг от друга, почти как черные пятнышки на посыпанном маком пироге растаскиваются врозь, когда тесто поднимается в печи. Так что причина движения в разные стороны не во взрыве, который имел место внутри пространства. Вместо этого движение в разные стороны возникает из неослабевающего разбухания самого пространства.
Чтобы более полно ухватить эту ключевую идею, подумаем также о великолепно применимой для расширяющейся вселенной модели воздушного шара, которую физики часто используют (аналогия, которая может быть прослежена, как минимум, так же далеко назад, как веселый комикс, который вы можете увидеть в конечных комментариях[7], и который появился в заметке Датча в 1930 по итогам интервью с Виллемом де-Ситтером, ученым, который внес важный вклад в космологию). Эта аналогия уподобляет наше трехмерное пространство более легко визуализируемой двумерной поверхности сферического воздушного шара, как на Рис. 8.2а, который раздувается до все большего и большего размера. Галактики представляются многочисленными равномерно распространенными монетками (пенни с портретом Линкольна), приклеенными к поверхности шара. Отметим, что поскольку шар расширяется, все монетки удаляются друг от друга, обеспечивая простую аналогию тому, как расширяющееся пространство разносит в стороны все галактики.
Важное свойство этой модели в том, что тут имеется полная симметрия среди монеток, поскольку вид, который наблюдает любой отдельный Линкольн, будет таким же, как и вид, который наблюдает любой другой Линкольн. Чтобы показать это, представьте, что вы сжимаетесь, ложась на монетку, и обозреваете все направления на поверхности шара (вспомним, что в этой аналогии поверхность шара представляет все пространство, так что смотреть вне поверхности шара не имеет смысла). Что вы будете наблюдать? Ну, вы увидите монетки, удаляющиеся от вас во всех направлениях, так как шар расширяется. А если вы ложитесь на другую монетку, что вы будете наблюдать? Симметрия гарантирует, что вы будете видеть те же самые вещи: монетки, разлетающиеся во всех направлениях. Этот ясный образ хорошо фиксирует наши убеждения, – при поддержке все более точных астрономических исследований, – что наблюдатель в любой из более чем 100 миллиардов галактик вселенной*, пристально вглядывающийся в ее или его ночное небо через мощный телескоп, будет, в среднем, видеть образ, сходный с тем, что видим мы: окружающие галактики, удаляющиеся прочь во всех направлениях.
(*)"Имеются в виду, конечно, галактики наблюдаемой части вселенной. – (прим. перев.)"
Итак, в отличие от взрыва на заводе внутри фиксированного, существующего заранее пространства, если движение в разные стороны возникает вследствие того, что само пространство растягивается, не нужна специальная точка, – ни специальная монетка, ни специальная галактика, – которая является центром расходящегося движения. Каждая точка – каждая монетка, каждая галактика – выступает полностью наравне с любой другой.
Вид из любого места кажется похожим на вид из центра взрыва: каждый Линкольн видит всех других Линкольнов удаляющимися прочь; наблюдатель, вроде нас, в любой галактике видит все другие галактики удаляющимися прочь. Но поскольку это верно для всех положений, не существует специального или уникального положения, которое было бы центром, из которого происходит расходящееся движение.
Более того, это объяснение не только качественно оценивает расходящееся движение галактик пространственно однородным способом, оно также объясняет количественные детали, найденные Хабблом и подтвержденные с большей точностью последующими наблюдениями. Как иллюстрируется на Рис. 8.2b, если воздушный шар разбухает в течение некоторого интервала времени, например, удваиваясь в размере, все пространственные расстояния будут также удвоены по величине: монетки, которые находились на расстоянии 1 дюйм, теперь будут на расстоянии 2 дюйма, монетки, которые находились на расстоянии 2 дюйма, теперь будут на расстоянии 4 дюйма, монетки, которые находились на расстоянии 3 дюйма, теперь будут на расстоянии 6 дюймов, и так далее. Так что в течение любого заданного временного интервала увеличение расстояний между двумя монетками пропорционально начальному расстоянию между ними.
Рис 8.2 (а) Если равномерно распределенные монетки (1 пенни) приклеены к поверхности сферы, вид, который увидит каждый Линкольн, будет тем же самым, который увидит любой другой. Это согласуется с уверенностью, что вид из любой галактики во вселенной, в среднем, будет тем же самым, каким он будет из любой другой, (b) Если сфера расширяется, расстояния между всеми монетками увеличиваются. Более того, чем дальше монетки друг от друга разнесены на 8.2а, тем большее разделение они почувствуют из-за расширения в 8.2b.
Это хорошо согласуется с измерениями, показывающими, что чем более удалена от данной точки отсчета галактика, тем быстрее она движется прочь от этой точки. Отметим, что ни одна монетка не была выделена как специальная, что также согласуется с нашей уверенностью, что во вселенной нет специальной галактики или центра расширения пространства.
А поскольку большее увеличение расстояния за данный временной интервал означает большую скорость, монетки, которые удалены дальше друг от друга, разлетаются более быстро. В сущности, чем дальше находятся друг от друга две монетки, тем больше поверхности воздушного шара находится между ними и тем быстрее они разлетаются в стороны, когда шар раздувается. Применяя точно такие же рассуждения для объяснения пространства и содержащихся в нем галактик, мы получаем объяснение наблюдений Хаббла. Чем дальше находятся две галактики, тем больше пространства имеется между ними и тем быстрее они будут расталкиваться прочь одна от другой при раздувании пространства.
При объяснении наблюдаемого движения галактик через раздувание пространства, ОТО не только обеспечивает объяснение, что все местоположения в пространстве трактуются симметрично, но также одним сильным броском оцениваются все данные Хаббла. Этот вид объяснения является одним из настолько элегантных шагов за пределы ящика (в этом случае, шагом, который действительно использует "ящик" – то есть, пространство) для объяснения наблюдений с количественной точностью и хитрой симметрией, что физики описывают его как едва ли не слишком прекрасное, чтобы быть неправильным. По существу, в настоящее время имеется универсальное соглашение, что ткань пространства растягивается.
Время и расширяющаяся вселенная
Используя небольшую вариацию модели воздушного шара, мы можем теперь понять более точно, как симметрия в пространстве, даже если пространство расширяется, дает понятие времени, которое однородно применимо в любом месте космоса. Представив себе, что каждая монетка заменена на одинаковые часы, как на Рис. 8.3, мы знаем из теории относительности, что одинаковые часы отсчитывают время с различным темпом, если они подвергаются различным физическим воздействиям – различным движениям или различным гравитационным полям. Но простое, хотя ключевое наблюдение заключается в том, что полная симметрия среди всех Линкольнов на раздувающемся шаре переносится на полную симметрию среди всех часов. Все часы помещены в одинаковые физические условия, так что все тикают в точности с одинаковым темпом и фиксируют одинаковое количество прошедшего времени. Аналогично, в расширяющейся вселенной, в которой имеется высокая степень симметрии среди всех галактик, часы, которые двигаются вместе с той или иной галактикой, также должны тикать с одинаковым темпом и, отсюда, фиксировать одинаковое количество истекшего времени. Как может быть иначе? Каждые часы выступают наравне с любыми другими, находясь, в среднем, примерно в одинаковых физических условиях. Это опять показывает ошеломительную силу симметрии. Без каких-либо расчетов или детального анализа мы обнаружили, что однородность физического окружения, как это подтверждается однородностью микроволновой фоновой радиации и однородным распределением галактик в пространстве,[8] позволяет нам сделать заключение об однородности времени.
Хотя обоснование здесь проведено непосредственно, заключение может, тем не менее, сбить с толку. Поскольку галактики все разбегаются прочь по мере расширения пространства, часы, которые двигаются вместе с той или иной галактикой, также разбегаются прочь. И это не все, они двигаются друг относительно друга с гигантском диапазоне скоростей, определяемом гигантским диапазоном расстояний между ними. Не будет ли это движение вынуждать часы рассинхронизироваться, как нас учил Эйнштейн в СТО? По ряду причин ответ будет – нет; здесь приводим один особенно полезный способ подумать об этом.
Вспомним из Главы 3, что Эйнштейн открыл, что часы, которые двигаются через пространство различными способами, отсчитывают время с различными темпами (поскольку они переводят различные количества их движения через время в движение через пространство; вспомните аналогию с Бартом на его скейтборде, сначала двигающимся на север, а затем переводящим некоторое количество своего движения на северо-восток).
Рис 8.3 Часы, которые двигаются вместе с галактиками, – чье движение, в среднем, возникает только из расширения пространства, – обеспечивают универсальный космический хронометраж. Они остаются синхронизированными, даже если они отделены друг от друга, поскольку они двигаются с пространством, но не через пространство.
Но часы, которые мы сейчас обсуждаем, совсем не двигаются через пространство. Точно так же, как каждая монетка приклеена к одной точке воздушного шара и двигается относительно других монет только вследствие раздувания поверхности шара, каждая галактика занимает один регион в пространстве и, большей частью, двигается относительно других галактик только вследствие расширения пространства. А это означает, что по отношению к самому пространству все часы в действительности стационарны, так что они отсчитывают время идентично. Это именно те часы – часы, чье движение происходит только от расширения пространства, – которые обеспечивают синхронизированные космические часы, используемые для измерения возраста вселенной.
Отметим, конечно, что вы свободны взять ваши часы, прыгнуть на борт ракеты и пронестись через пространство таким образом и с такой громадной скоростью, что вы подвергнитесь существенному движению в дополнение к космическому течению от расширения пространства. Если вы это сделаете, ваши часы будут тикать с другим темпом и вы обнаружите другую продолжительность истекшего после Большого взрыва времени. Это совершенно допустимая точка зрения, но она полностью индивидуалистична: измеренное истекшее время тесно связано с историей вашего особого местоположения и состояния движения. Когда астрономы говорят о возрасте вселенной, тем не менее, они стремятся к чему-то универсальному, – они стремятся измерить то, что имеет одинаковое значение где угодно. Однородность изменений сквозь пространство обеспечивает способ это сделать.[9]
Фактически, однородность микроволнового фонового излучения обеспечивает готовый тест для того, действительно ли вы двигаетесь с космическим течением пространства. Вы видите, хотя микроволновое излучение однородно по пространству, если вы предпримете дополнительное движение вне того, которое связано с космическим течением пространственного расширения, вы не будете наблюдать излучение однородным. Точно так же, как гудок мчащегося автомобиля имеет большую высоту, когда автомобиль приближается, и меньшую высоту, когда автомобиль удаляется, если вы несетесь сквозь пространство на космическом корабле, пики и впадины микроволн, направленные во фронт вашего корабля будут падать с большей частотой, чем они же, двигающиеся в направлении кормы вашего корабля. Более высокая частота микроволн переводится в более высокую температуру, так что вы найдете, что излучение в направлении вашего полета будет чуть теплее, чем излучение, достигающее вас сзади. Когда это производится здесь на "космическом корабле" Земля, астрономы находят микроволновой фон немного теплее в одном направлении в пространстве и немного холоднее в противоположном направлении. Причина в том, что Земля не только движется вокруг Солнца, а Солнце движется вокруг галактического центра, но и вся галактика Млечный Путь имеет небольшую скорость в дополнение к космическому расширению, направленную к звездному скоплению Гидры. Только когда астрономы внесли поправки на влияние этих относительно слабых дополнительных движений на микроволны, мы получили, что излучение проявляет истинную однородность температуры между одной частью неба и другой. Это та однородность, та общая симметрия между одним положением и другим, которая позволяет нам осмысленно говорить о времени, когда мы описываем всю вселенную.
Тонкие особенности расширяющейся вселенной
Несколько тонких моментов в нашем объяснении космического расширения достойны выделения. Первое, вспомним, что в аналогии с воздушным шаром какую-либо роль играет только поверхность шара – поверхность, которая всего лишь двумерна (каждое положение может быть отмечено заданием двух чисел, аналогичных широте и долготе на Земле), тогда как пространство, которое мы видим, когда обозреваем окружение, имеет три измерения. Мы использовали эту модель с меньшим числом измерений, поскольку она сохраняет концепции, существенные для правильной, трехмерной ситуации, но намного легче поддается визуализации. Важно иметь это в виду, особенно если вы намеревались сказать, что в модели воздушного шара имеется особая точка: центральная точка внутри шара, удаляясь от которой двигается вся резиновая поверхность. Хотя это наблюдение верное, оно бессмысленное в аналогии с шаром, поскольку любая точка вне поверхности шара не имеет значения. Поверхность шара представляет все пространство; точки, которые не лежат на поверхности шара являются просто не относящимися к делу добавками модели и не соответствуют какому-либо положению во вселенной.*
(*)"Выйти за пределы двумерной аналогии с поверхностью шара и получить сферическую трехмерную модель легко математически, но тяжело на картинке даже для профессиональных математиков и физиков. Вы можете попытаться подумать о твердом трехмерном шаре, похожем на шар для боулинга, но без дырок для пальцев. Однако, это неудовлетворительный образ. Мы хотим, чтобы все точки в модели рассматривались на одинаковом основании, поскольку мы верим, что каждое местоположение во вселенной (в среднем) в точности похоже на любое другое. Но шар для боулинга имеет все виды отличающихся точек: некоторые находятся на внешней поверхности, некоторые вложены во внутренность, одна находится прямо в центре. Напротив, точно так же, как двумерная поверхность воздушного шара окружает трехмерную сферическую область (содержащую воздух внутри шара), приемлемая сферическая трехмерная форма должна окружать четырехмерную сферическую область. Так что удовлетворительной формой является трехмерная сферическая поверхность в четырехмерном пространстве. Но если вы уже оставили ваши попытки представить это, сделайте то же самое, что делают все профессионалы: воспользуйтесь легко представимыми низкоразмерными аналогиями. Они содержат почти все существенные особенности. Чуть дальше мы рассмотрим трехмерное плоское пространство, в противоположность круглой форме сферы, и это плоское пространство можно представить."
Второе, если скорость удаления становится все больше и больше для галактик, которые удалены все дальше и дальше от нас, не означает ли это, что галактики, которые достаточно удалены будут убегать от нас со скоростью большей, чем скорость света. Ответ ошеломляющий – определенно да. Однако тут нет конфликта с СТО. Почему? Ну, это тесно связано с причиной, по которой часы, разлетающиеся вследствие космического течения пространства, остаются синхронизированными. Как мы подчеркивали в Главе 3, Эйнштейн показал, что ничто не может двигаться через пространство быстрее, чем свет. Но галактики, в среднем, совсем еле-еле двигаются через пространство. Их движение едва ли не полностью связано с растягиванием самого пространства. И теория Эйнштейна не запрещает пространству расширяться таким образом, что две точки – две галактики – удаляются друг от друга со скоростью большей, чем скорость света. Его результат только ограничивает скорость, из которой удалена составляющая, связанная с пространственным расширением, скорость, превышающая ту, которая возникает из пространственного расширения. Наблюдения подтверждают, что для типичных галактик, несущихся вместе с космическим течением, такое превышение движения является минимальным и полностью остается в рамках СТО, даже если их движение относительно каждой другой галактики, возникая из раздувания самого пространства, может превышать скорость света.*
(*)"В зависимости от того, ускоряется или замедляется темп расширения вселенной со временем, свет, испущенный такой галактикой, может вступить в битву, которая могла бы составить гордость Зенона: свет может лететь к нам со скоростью света, в то время как расширение пространства делает расстояние, которое свет еще должен пролететь, всегда больше, делая для света невозможным достижение нас когда-либо. Подробности в секции комментариев[10]."
Третье, если пространство расширяется, не означает ли это, что в дополнение к тому, что галактики разлетаются друг от друга, раздувающееся пространство внутри каждой галактики будет двигать все ее звезды друг от друга, а раздувающееся пространство внутри каждой звезды, и внутри каждой планеты, и внутри вас, меня и чего угодно другого будет двигать все составляющие атомы друг от друга? Короче, не заставит ли раздувающееся пространство любую вещь, включая наши мерные линейки, увеличивать размеры и, таким образом, сделает невозможным распознать, что любое расширение на самом деле произошло? Ответ: нет. Подумайте еще раз о модели воздушного шара с монетками. Поскольку поверхность воздушного шара раздувается, все монетки двигаются в разные стороны, но сами монетки, несомненно, не расширяются. Конечно, если вы представите галактики маленькими кружочками, нарисованным на шаре черным маркером, тогда действительно, по мере увеличения размера шара маленькие кружочки будут также расти. Но монетки, а не зачерненные кружки, фиксируют, что реально происходит. Каждая монетка остается фиксированной по размеру, поскольку силы, удерживающие ее атомы цинка и меди вместе, намного больше, чем расталкивание расширяющегося шара, к которому монетка приклеена. Аналогично, ядерные силы, удерживая индивидуальные атомы как целое, и электромагнитные силы, удерживая ваши кости и кожу вместе, и гравитационные силы, удерживая планеты и звезды невредимыми и собирая их в галактики, более сильны, чем расталкивающее раздувание пространства, так что ни один из этих объектов не расширяется. Только на самых больших масштабах, на масштабах намного больше индивидуальной галактики раздувание пространства встречает мало сопротивления или не встречает совсем (гравитационное притяжение между сильно разделенными галактиками относительно мало вследствие включения больших расстояний), так что только на таких сверхгалактических масштабах раздувание пространства будет разносить объекты в стороны.
Космология, симметрия и форма пространства
Если кто-то разбудил вас среди ночи из глубокого сна и потребовал у вас рассказать ему о форме вселенной – общей форме пространства – вы, возможно, затруднитесь с ответом. Даже в вашем полусонном состоянии вы знаете, что Эйнштейн показал, что пространство должно быть разновидностью чего-то вроде игрушки Дурацкая замазка (Silly Putty), так что, в принципе, оно может иметь практически любую форму. Тогда как вы можете, возможно, ответить на вопрос вашего интервьюера? Мы живем на маленькой планете, вращающейся вокруг средней звезды на окраине галактики, которая всего лишь одна из сотен миллиардов, рассеянных по пространству, так как же вы можете надеяться знать хоть что-нибудь о форме всей вселенной? Ну, раз уж туман сна рассеялся, вы понемногу осознаете, что сила симметрии еще раз придет на выручку.
Если вы принимаете широко распространенное среди ученых мнение, что после усреднения на больших масштабах все местоположения и все направления во вселенной симметричны относительно друг друга, то вы на правильном пути к ответу на вопрос интервьюера. Причины в том, что почти все формы не удовлетворяют этому симметрийному требованию, поскольку одна часть или область формы фундаментально отличается от другой. Груша сильно выпукла у основания, но куда меньше у вершины; яйцо более плоское в середине, но более заостренное у своих концов. Эти формы, хотя и проявляют некоторую степень симметрии, не обладают полной симметрией. Исключив такие формы и ограничившись только теми, в которых каждый регион и направление похожи на любой другой, вы сможете фантастически ограничить возможности.
Мы уже сталкивались с одной формой, которая отвечает всем требованиям. Сферическая форма воздушного шара оказалась ключевой составляющей к установлению симметрии между Линкольнами на монетках на раздувающейся поверхности, также и трехмерная версия этой формы, так называемая 3-сфера, является одним из кандидатов на форму пространства. Но это не единственная форма, которая дает полную симметрию. Продолжая по причине более легкой визуализации двумерные модели, представим бесконечно широкий и бесконечно длинный резиновый лист – такой, который полностью неискривлен, – с равномерно распределенными монетками, наклееными на его поверхность. Если весь лист расширяется, то опять имеется полная пространственная симметрия и полное соответствие открытию Хаббла; каждый Линкольн видит, что каждый другой Линкольн удаляется со скоростью, пропорциональной расстоянию до него, как показано на Рис. 8.4. Поэтому трехмерная версия этой формы, подобная бесконечно протяженному кубу из прозрачной резины с галактиками, равномерно разбросанными по его внутренности, является другой возможной формой для пространства. (Если вы предпочитаете кулинарные аналогии, подумайте о бесконечно большой версии посыпанного маком пирога, упоминавшегося ранее, одной из форм, аналогичных кубу, но продолжающейся бесконечно и с рассыпанным маком, играющим роль галактик. Когда пирог печется, тесто расширяется, заставляя каждое маковое зерно удаляться от других). Эта форма называется плоским пространством, поскольку, в отличие от сферического примера, она не имеет кривизны (понятие "плоский", которое используют математики и физики, однако, отличается от разговорного понятия "расплющенного в блин"[11]).
Одна чудесная мысль относительно как сферической, так и бесконечной плоской формы заключается в том, что вы можете бесконечно идти по ней и никогда не достигнете края или границы. Это привлекательно, поскольку позволяет нам избежать тяжелых вопросов: Что находится за краем пространства?
(а) (b)
Рис 8.4 (а) Вид от любой монетки на бесконечном плоском листе является тем же самым, как и вид от любой другой монетки, (b) Чем дальше друг от друга удалены две монетки на Рис. 8.4а, тем больше будет увеличение расстояния между ними, когда плоскость расширяется.